Родился в Москве.

Окончил Государственный центральный институт физической культуры. Мастер спорта. С 1974 года — старший тренер МГС ДСО «Динамо», главный тренер сборной команды СССР (1974—1991); капитан сборных команд СССР (1974—1991), СНГ (1992) и России (с 1997) в розыгрыше Кубка Дэвиса (41 матч) и команды СССР в Кубке Федерации (1978—1980; 11 матчей).

Под руководством Тарпищева советские теннисисты завоевали 26 золотых медалей на чемпионатах Европы (1974—1983), становились полуфиналистами Кубка Дэвиса (1974, 1976) и Кубка Федерации (1978—1979), финалистами Королевского Кубка (1981). Капитан сборной команды Европы в матче Азия — Европа (1983).

Советник Президента Российской Федерации по физической культуре и спорту (1992—1994), Президент Национального фонда спорта (НФС) (1992 — июль 1994), председатель Координационного комитета по физической культуре и спорту при Президенте России (1993—1997). Председатель Государственного комитета Российской Федерации по физкультуре и туризму (1994—1996). Советник мэра Москвы по спорту и председатель Совета директоров «Кубка Кремля» (с 1996).

В 2002 году стал членом президиума Совета при Президенте России по физической культуре и спорту, председателем комиссии по выработке приоритетных направлений государственной политики в области физкультуры и спорта, а также стратегии развития спорта в России.

Член Исполнительного комитета Олимпийского комитета России (с 1994) и Международного олимпийского комитета (с 1996).