Родился в Магнитогорске Челябинской области.

В 1990 г. - окончил Магнитогорский горно-металлургический институт им. Г.И. Носова (в настоящее время Магнитогорский государственный технический университет имени Г.И. Носова) по специальности «Обработка металлов давлением».

Трудовую деятельность начал в 1976 г. на Магнитогорском металлургическом комбинате учеником контролера первого разряда отдела технического контроля.

После службы в армии вернулся на Магнитогорский металлургический комбинат, где работал слесарем по ремонту металлургического оборудования, бригадиром слесарей-ремонтников, старшим мастером и начальником прокатного отделения, заместителем начальника, начальником листопрокатного цеха, главным прокатчиком ОАО «ММК».   

В 2000 г. - назначен заместителем коммерческого директора – начальником управления оборудования, в 2002 г. – техническим директором – главным инженером ОАО «ММК».

В 2001 г. – окончил Академию народного хозяйства при Правительстве РФ по специальности «Управление предприятиями и организациями». 

В 2002 – 2003 гг. - по совместительству являлся генеральным директором ОАО «Магнитогорский метизно-металлургический завод».

С 2003 по 2008 гг. - работал директором по сбыту на внутреннем рынке, директором по сбыту, исполнительным директором ОАО «Магнитогорский металлургический комбинат».

С 2009 по май 2011 гг. - работал первым заместителем генерального директора ОАО «Научно-производственная корпорация «Уралвагонзавод». 

С мая 2011 г. – генеральный директор, председатель правления ОАО «Магнитогорский металлургический комбинат».

15 января 2014 г. - назначен временно исполняющим обязанности Губернатора Челябинской области.

14 сентября 2014 г. - избран Губернатором Челябинской области.

24 сентября 2014 г. - официально вступил в должность Губернатора Челябинской области.

10 декабря 2018 года Борис Дубровский вступил в "Единую Россию".

Награжден медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени (2003 г.), Орденом Почета (2012 г.), знаком отличия «За заслуги перед Челябинской областью» (2013 г.).

Подал в отставку 19 марта 2019 года